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欧拉定律

Euler law

定义：晶体或晶粒自发形成规则几何多面体时均遵循瑞士数学家欧拉（Euler）创立的一个定律：规则多面体的面数（F）、棱边数（E）和顶角数（C）服从F-E+C=2的关系。

学科：材料科学技术_材料科学技术基础_材料科学基础_材料组织结构

相关名词：几何学 晶体 欧拉公式

来源：全国科学技术名词审定委员会

【延伸阅读】

作为人类历史上最伟大的数学家之一，莱昂哈德·欧拉一生的著作可谓汗牛充栋，而欧拉定律（或称欧拉公式）则是他最为大众所熟知的研究之一。相较于其他数学结论的艰深晦涩，欧拉定律所描述的现象可以用小学数学的概念加以描述：规则多面体的面数（F）、棱边数（E）和顶角数（C）服从F-E+C=2。其中，数字2被称为欧拉示性数。具有相同的欧拉示性数的几何体具有相类似的几何性质。

这里需要澄清一个广泛存在的误区，即不是所有的“三维”几何体的欧拉示性数都等于2，或者说F-E+C=2的关系并不总是成立。考虑几何体“十二面体”，一般来说我们会下意识地联想到“正十二面体”（如下图所示）。正十二面体由12个正五边形组成，它共有20个顶点、30条棱。显然12-30+20=2，欧拉定律成立。

但如果“十二面体”是下图中两种“不规则”的形状：小星形十二面体（左）和大十二面体（右），那么欧拉定律就不再成立。小星形十二面体共有12个顶点、30条棱，12-30+12=-6；大十二面体共有12个顶点、30条棱，12-30+12=-6。

事实上，欧拉示性数相同的小星形十二面体和大十二面体之间有十分密切的联系——小星形十二面体的每个顶点均能对应到大十二面体上每个面的中心，反之亦然，二者互为对偶多面体。

欧拉定律最早由法国数学家笛卡尔于1635年前后证明，但笛卡尔这一成果并不为人所知。欧拉于1750年独立证明了这个公式。因此在有的文献中，也将这一公式称为欧拉—笛卡尔公式。

欧拉定律（欧拉示性数）具有十分广泛的应用。从纯数学的角度而言，欧拉示性数是很多问题和解法的根源所在，对几何学有着根本性的影响。而在化工、冶金、材料学等领域，科学家可以利用欧拉示性数所揭示的面数、棱数和顶点数之间的关系，预测未知晶体的形态。